Michaelis-Menten Gleichung herleiten

Mon 2014-06-16

Enzymkinetik leich gemacht: Wer schonmal eine Biochemie-Vorlesung gehört hat, wird nicht um sie herumgekommen sein: Die Michaelis-Menten-Gleichung. Hier geht es um die Herleitung derselben.

Die Michaelis-Menten-Gleichung beschreibt die Startgeschwindigkeit einer enzymkatalysierten Reaktion in Abhängigkeit von der Konzentration des umzusetzenden Substrats.

In vielen Lehrbüchern bekommt man die Gleichung als fertiges Endprodukt vorgesetzt, zusammen mit ein paar Aussagen, die sich aus ihr ableiten lassen.

Auch das IMPP stellt gerne Fragen dazu.

Es ist für das Verständnis hilfreich, sich die Gleichung einmal selbst herzuleiten. Dies ist auch ohne viele Verrenkungen leicht möglich, wie ich hier demonstriere.

Im Folgenden soll die allseits bekannte Michaelis-Menten-Gleichung für enzymkatalysierte Reaktionen hergeleitet werden. Dies ist einfacher, als man zunächst denken könnte.

1 Refresher: Reaktionsgeschwindigkeit

Die Geschwindigkeit, mit der eine Reaktion abläuft, hängt zunächst einmal von der Konzentration der beteiligten Stoffe ab.

Unterschiedliche Funktionen beschreiben nun den Reaktionsablauf, abhängig davon, wie viele Edukte und Produkte an der Reaktion beteiligt sind.

Für unsere enzymkatalysierte Reaktion brauchen wir nun zwei Typen:

1.1 Zerfallsreaktionen

$$ A \rightarrow B + C$$

Hier gilt: Die Geschwindigkeit ist proportional zur noch vorhandenen Menge des Stoffs A, d.h. zur Konzentration [A].

$$v \propto A \Leftrightarrow v([A]) = k \cdot [A] $$

Der Proportionalitätsfaktor k wird experimentell bestimmt.

Eine andere Möglichkeit, die Reaktionsgeschwindigkeit auszudrücken, ist einfach die Beschreibung: »Geschwindigkeit ist das Abnehmen der Konzentration von A über der Zeit«:

$$ v = \frac{d[A]}{dt} $$

1.2 Synthesereaktionen

Eine Synthesereaktion ist eine zeitlich umgekehrte Zerfallsreaktion:

$$ B + C \rightarrow A $$

Hier gilt für die Reaktionsgeschwindigkeit v:

$$ v = \frac{d[A]}{dt} = k \cdot [B] \cdot [C]$$

2 Die enzymvermittelte Reaktion

2.1 Reaktionsgleichung

Die Reaktion, für deren Geschwindigkeit wir eine Gleichung suchen, schaut folgendermaßen aus:

Ein Substrat S und ein Enzym E reagieren zum Enzym-Substrat-Komplex ES. Dieser hat nun die Möglichkeit, wieder in E und S zu zerfallen, oder zu E und Produkt P zu reagieren.

Achtung: E und P können nicht wieder zurück zu ES reagieren!

$$ E + S \underset{k_{-1}}{\overset{k_1}{\leftrightharpoons}} ES \xrightarrow{k_2} E + P$$

Hier sind \(k_1, k_{-1}, k_2\) Proportionalitätsfaktoren zur Reaktionsgeschwindigkeit gemäß der obigen Beschreibung.

Außerdem wollen wir annehmen, dass die Reaktion ES nach E + P der geschwindigkeitsbestimmende Schritt ist. Das bedeutet im Umkehrschluss: Die Zeit, die die Zusammenlagerung und Dissoziation von E und S benötigt, ist vernachlässigbar klein.

2.2 Herleitung der Michaelis-Menten-Gleichung

Zuerst wollen wir die Teilreaktionen betrachten, für diese die entsprechenden Gleichungen aufstellen und am Ende alles ineinander einsetzen.

Betrachten wir zunächst die Bildung des ES-Komplexes. Nach unserer Definition (5) handelt es sich hier um eine Synthesereaktion, wir können also schreiben:

$$ \frac{d[ES]}{dt} = k_1 \cdot [E] \cdot [S] $$

Dieser ES-Komplex kann jetzt wieder zurück zu E und S zerfallen, oder zu E und P reagieren. Beide Zerfallsreaktionen können ähnlich (2) in einer Gleichung geschrieben werden:

$$ \frac{d[ES]}{dt} = k_{-1}\cdot[ES] + k_2\cdot[ES]$$

Im Gleichgewichtszustand halten sich Neubildung und Zerfall von ES in der Waage, wir können also die Geschwindigkeiten (7) und (8) gleichsetzen:

$$ k_1[E][S] = k_{-1}[ES] + k_2[ES] $$

Durch Umstellen und Ausklammern ergibt sich:

$$ [E]\cdot[S] = \frac{k_{-1}+k_2}{k_1}\cdot[ES] \overset{def}{=} K_M\cdot[ES]$$

Hier haben wir um Schreibarbeit zu sparen definiert \(K_M := \frac{k_{-1}+k_2}{k_1}\). Der Faktor \( K_M \) wird auch Michaelis-Menten-Konstante genannt.

Jetzt haben wir ein Problem: Die Konzentration des Enzym-Substrat-Komplexes [ES] ist uns nicht bekannt und auch nicht zu messen. Wissen jedoch, dass zu jedem Zeitpunkt ein Enzym entweder frei (E) oder an Substrat gebunden (ES) vorliegen muss. Damit ist die Gesamtkonzentration an Enzym \([E]_0\) konstant und es gilt:

$$ [E]_0 = [E] + [ES] \Leftrightarrow [E] = [E]_0 - [ES] $$

Diesen Ausdruck für [E] können wir in (10) einsetzen

$$ ([E]_0 - [ES])\cdot [S] = K_M\cdot[ES] $$

und erhalten nach Umstellen:

$$ [ES] = \frac{[E]_0\cdot[S]}{K_M + [S]} $$

Jetzt brauchen wir noch einmal die Gleichung für die Startgeschwindigkeit der zweiten Teilreaktion, dem Zerfall von ES zu P und E (geschwindigkeitsbestimmend, s.o.):

$$ v_0 = k_2\cdot[ES] \Leftrightarrow [ES] = \frac{v_0}{k_2}$$

Jetzt können wir die beiden letzten Ausdrücke gleichsetzen und erhalten eine Gleichung für die Startgeschwindigkeit \(v_0\):

$$ v_0 = \frac{k_2\cdot[E]_0\cdot[S]}{K_M + [S]} $$

Nun wollen wir überlegen, was der Term \(k_2\cdot [E]_0\) im Zusammenhang bedeutet:

Stellen wir uns vor, alle Enzyme seien mit einem Substrat verbunden, dann gilt \( [ES] = [E]_0 \). Die Konzentration der Enzym-Substrat-Komplexe ist gleich der Gesamtkonzentration an Enzym.

Mit unserem Wissen, dass \([ES]\cdot k_2 \) die Geschwindigkeit der zweiten Teilreaktion ist, können wir sagen:

\([E]_0\cdot k_2 \) ist die Geschwindigkeit bei vollständiger Enzymsättigung.

$$ v_{max} := k_2 \cdot [E]_0$$

Somit lautet unsere Gleichung (15) jetzt:

$$ v_0 = v_{max} \cdot \frac{[S]}{K_M + [S]} $$

Das ist die Darstellung der Michaelis-Menten-Gleichung, wie wir sie aus Lehrbüchern kennen. Die Substratkonzentration kann frei von uns gewählt werden, \(K_M, v_{max}\) sind experimentell bekannt.

Uns hindert jetzt nichts mehr daran, von einer beliebigen enzymkatalysierten Reaktion die Startgeschwindigkeit auszurechnen.

2.3 Weitere Betrachtungen

Bei unserer Rechnerei sind nebenbei noch einige andere Erkenntnisse angefallen, auf die ich hier kurz eingehen möchte.

2.3.1 Halb-maximale Geschwindigkeit

Was ist denn jetzt eigentlich \(K_M\)?

Aus Definition (10) bzw. Gleichung (17) sehen wir, dass \(K_M\) die Einheit einer Konzentration (mol/l) haben muss.

Setzen wir in (17) einmal versuchsweise eine Substratkonzentration von \([S]=K_M\) ein, so stellen wir erstaunt fest:

$$ v_0 = v_{max} \frac{[S]}{[S]+K_M} = v_{max} \frac{K_M}{K_M+K_M} = \frac{v_{max}}{2}$$

Merke: Die Michaelis-Menten-Konstante ist die Substratkonzentration bei halb-maximaler Reaktionsgeschwindigkeit.

2.3.2 Maximalgeschwindigkeit der Reaktion

Werfen wir noch einmal einen Blick auf Gleichung (16):

$$ v_{max} := k_2 \cdot [E]_0\nonumber$$

Die Maximalgeschwindigkeit der Reaktion ist von der Enzymkonzentration abhängig, und zwar proportional.

Das bedeutet: Verdopple ich die Enzymkonzentration, so verdoppelt sich die maximale Reaktionsgeschwindigkeit.

2.3.3 Sehr geringe Substratkonzentrationen

Wenn die Substratkonzentration im Vergleich zu \(K_M\) nur sehr gering ist, können wir sie im Nenner von (17) vernachlässigen.

$$ [S] \ll K_M \Rightarrow K_M + [S] \approx K_M$$

Damit erhalten wir:

$$ v_0 = v_{max} \cdot \frac{[S]}{K_M + [S]} \approx v_{max} \cdot \frac{[S]}{K_M} = \frac{v_{max}}{K_M}\cdot[S]$$

Merke: Bei im Vergleich zu \(K_M\) geringer Substratkonzentration ist die Startgeschwindigkeit proportional zur Substratkonzentration.

Das ist zum Beispiel beim Transportverhalten von GLUT-2 Glucose-Transportern interessant. Sie haben im Vergleich zur physiologischen Konzentration von Glucose im Blut einen hohen \(K_M\)-Wert. Das bedeutet, sie transportieren linear zum Blutglucose-Spiegel Glucose in die Zelle, die damit immer ein genaues »Bild« vom aktuellen Blutzucker hat.

Solche Transporter finden sich beispielsweise in der Bauchspeicheldrüse, die darüber immer passend zu Schwankungen im aktuellen Blutzucker Insulin ausschüttet.

2.3.4 Sehr hohe Substratkonzentration

Wenn die Substratkonzentration im Vergleich zu \(K_M\) sehr hoch ist, dann können wir wieder vereinfachen:

$$ [S] \gg K_M \Rightarrow [S] + K_M \approx [S]$$

Eingesetzt in (17) erkennen wir:

$$ v_0 = v_{max} \cdot \frac{[S]}{K_M + [S]} \approx v_{max} \cdot \frac{[S]}{[S]} = v_{max}$$

Die Reaktion läuft unabhängig von der Substratkonzentration mit maximaler Geschwindigkeit!

Merke: Bei im Vergleich zu \(K_M\) hoher Substratkonzentration ist die Startgeschwindigkeit maximal und unabhängig von der Substratkonzentration

Um mit den Beispielen bei den Glucose-Transportern zu bleiben: GLUT-1 hat einen vergleichsweise niedrigen \(K_M\)-Wert. Das bedeutet, eine Zelle mit solch einem Transporter schaufelt mit Maximalgeschwindigkeit Zucker in sich hinein, ohne sich groß um Schwankungen im Blutzucker zu kümmern.

GLUT-1 Transporter befinden sich im Gehirn, da es auf Glucose als Energielieferant angewiesen ist.

3 Fazit

Die Herleitung der Michaelis-Menten-Enzymkinetik ist nicht schwierig. Nebenher lassen sich auch noch einige Zusammenhänge erklären und verstehen, die man sonst nur aus dem Lehrbuch »akzeptieren« müsste.

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